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前言（Preface）

前段时间有些朋友在论坛里问到一些关于3D数学的知识，就想为大家写点这方面的文章。由于之前比较忙，又遇到过春节，所以最近才着笔写了这篇文章，希望大家喜欢。这些内容主要是一些理论知识，看上去难免有些枯燥，之后的文章我会加入一些实例进行讲解的。如果内容存在错误和不全，就请你来更正和添加了。

三维坐标系（3D Coordinate System）

三维坐标是把二维的平面坐标推广到三维空间中，在三维坐标中，点（x,y,z）的齐次坐标为（nx,ny,nz,n），其中n为任意不为0的数，规范化的齐次坐标为（x,y,z,1），与之相对应，三维变换的变换矩阵为4×4矩阵。

在三维空间中，我们通常使用右手坐标系（Right-Handed Coordinate System），因为它符合数学上的习惯，而在计算机图形学中，我们会使用左手坐标系（Left-Handed Coordinate System），因为它比较符合日常习惯。其实，我们可以任意的旋转这些坐标系，而图形仍然保持不变。常见的坐标系如下：

屏幕坐标系：相对于显示器的原点的2D坐标系

本地坐标系：相对于对象的原点的3D坐标系 

世界坐标系：相对于3D世界的原点三维坐标系

对齐(视点)坐标系：世界坐标系的变换，观察者的位置在世界坐标系的原点。

点（Point）

点是在某一个坐标系中使用坐标值指定的位置。因此，点到坐标原点之间的距离与坐标系的选择有关。点P在坐标系A中的坐标为（0,0,0），而在坐标系B中的坐标则为（x,y,z）。

向量（Vector）

向量是指两点的差值，具有大小和方向，即给定两点，就能唯一确定一个向量，向量的大小和方向与坐标系的选择无关。向量V=（V_x,V_y,V_z）=P₁P₂=（x₂-x₁,y₂-y₁,z₂-z₁）其中，V_x，V_y和V_z分别为向量V在x，y和z轴上的投影，称为向量V的x分量（x component），y分量（y component）和z分量（z component）。该向量的大小为：

       向量V与x，y和z轴形成的方向角（Direction Angle）：α，β和γ，其中cosα，cosβ和cosγ称为方向余弦（Direction Cosine）。

    向量加法：V₁+V₂=（V_1x+V_2x,V_1y+V_2y,V_1z+V_2z）

    向量标量乘：aA=（aV_x,aV_y,aV_z）

    向量标量积：V₁·V₂= V_1x+V_2x,V_1y+V_2y,V_1z+V_2z

向量积（叉积）：V₁×V₂=（V_1yV_2z-V_1zV_1y,V_1zV_2x-V_1xV_2z,V_1xV_2y-V_1yV_2z）

                    =|U_x  U_y  U_z|

|V_1x  V_1y  V_1z|

                                    |V_2x  V_2y  V_2z|

注：其中U_x,U_y,U_z分别表示沿x轴，y轴和z轴的单位向量。在以后的编程中，我们经常会用到向量积。

矩阵（Matrix）

矩阵是由若干个数值构成的矩形阵列，这些数值通常为实数，称为矩阵的元素。如果一个矩阵的行和列数相同，我们则称该矩阵为方阵（Square Matrix），而只有一行或者一列的矩阵用常用向量表示，例如：[x,y,z]称为行向量（Row Vector），

|x|

|y| 则称为列向量（Colume Vector）。

|z|

矩阵加法：|A₁₁  A₁₂  A₁₃|  |B₁₁  B₁₂  B₁₃|  | A₁₁+ B₁₁  A₁₂+ B₁₂  A₁₃+ B₁₃|

                |A₂₁  A₂₂  A₂₃| + |B₂₁  B₂₂  B₂₃| = | A₂₁+ B₂₁  A₂₂+ B₂₂  A₂₃+ B₂₃|

                |A₃₁  A₃₂  A₃₃|  |B₃₁  B₃₂  B₃₃|  | A₃₁+ B₃₁  A₃₂+ B₃₂  A₃₃+ B₃₃|

矩阵标量乘： |A₁₁  A₁₂  A₁₃|  |nA₁₁  nA₁₂  nA₁₃|

                    n|A₂₁  A₂₂  A₂₃| = |nA₂₁  nA₂₂  nA₂₃|

                     |A₃₁  A₃₂  A₃₃|  |nA₃₁  nA₃₂  nA₃₃|

矩阵的乘：

矩阵变换（Matrix Transform）

三维平移的矩阵表示为：

[x`,y`,z`,1]=[x,y,z,1] | 1  0  0  0 | 

| 0  1  0  0 |

| 0  0  1  0 |

| tx ty  tz 1 |

三维缩放的矩阵表示为：

[x`,y`,z`,1]=[x,y,z,1] | sz  0  0  0 |

| 0  sy  0  0 |

| 0  0  sx  0 |

| 0  0  0  1 |

绕x轴旋转的矩阵表示为：

              [x`,y`,z`,1]=[x,y,z,1] | 1    0     0    0 |

| 0  cosα  sinα  0 |

| 0  -sinα  cosα 0 |

| 0    0     0    1 |

绕y轴旋转的矩阵表示为：

              [x`,y`,z`,1]=[x,y,z,1] | cosα  0  -sinα  0 |

|  0     1    0    0 |

| sinα   0  cosα  0 |

|  0     0    0    1 |

绕z轴旋转的矩阵表示为：

              [x`,y`,z`,1]=[x,y,z,1] | cosα  sinα  0  0 |

| -sinα  cosα  0  0 |

|   0      0    1  0 |

|   0      0    0  1 |

反射（Reflection）

       反射变换也称为对称（Symmetric）变换或镜像（Mirror Image）变换，三维反射变换可以相对于反射轴（Reflection Axis）进行，也可以相对于反射平面进行。相对于反射轴的三维反射变换是通过将图形绕反射轴旋转180°来实现的。

       相对于xy平面的反射变换矩阵为：

              | 1  0  0  0 |

              | 0  1  0  0 |

              | 0  0  1  0 |

              | 0  0  0  1 |

       相对于yz平面的反射变换矩阵为：

              |-1  0  0  0 |

              | 0  1  0  0 |

              | 0  0  1  0 |

              | 0  0  0  1 |

       相对于zx平面的反射变换矩阵为：

              | 1  0  0  0 |

              | 0  -1  0  0 |

              | 0  0  1  0 |

              | 0  0  0  1 |

错切（Shear）

       错切变换会改变图形的形状。

       相对于x轴的错切变换矩阵为：

              |  1  0   0   0 |

              | sh_Y  1   0   0 |

              | sh_z  0   1   0 |